乙公司于2024年4月5日取得抵押权，根据《民法典》的规定，动产抵押，抵押权自抵押合同生效时设立；未经登记不得对抗善意第三人。挖掘机是动产，抵押合同2024年4月5日签订并生效，此时即取得抵押权，4月7日的登记只产生对抗效力。

乙公司不能对丙的挖掘机行使抵押权。根据《民法典》的规定，动产抵押无论是否办理抵押登记， 均不得对抗正常经营活动中已支付合理价款并取得抵押财产的正常买受人，本案中，丙符合正常买受人构成要件，虽然乙公司的抵押权已经登记，但依然不能对抗正常买受人丙。

戊修理厂可以留置甲公司的挖掘机，根据《民法典》的规定，债权人因同一法律关系留置合法占有的第三人的动产，并主张就该留置财产优先受偿的，法院应予支持。本案中，戊修理厂因该挖掘机维修款而留置，属于同一法律关系，所以即使挖掘机只是丁使用，所有权属于甲公司，戊修理厂依然可以留置甲公司的挖掘机并要求优先受偿。

乙公司不能直接要求董事长张某承担保证责任，根据《民法典》的规定，同一债权上既有保证又有物的担保的，没有约定或约定不明确的，债务人自己提供物的担保的，债权人应先就物的担保实现债权。本案中，1000万债权上既有厂房担保又有挖掘机担保且均为债务人甲公司提供，所以，不能直接要求董事长张某承担保证责任。

甲公司在未经乙公司同意的情形下可以将厂房卖给己，根据《民法典》的规定，抵押物的所有权人仍是抵押人，除非当事人另有约定，否则抵押人有权转让抵押物所有权。本案中，厂房的所有权人仍是甲公司，且甲乙双方没有不得转让的约定，故甲公司转让自己的厂房无需乙公司的同意。

此主张不成立，根据《民法典》的规定，善意取得的构成要件中要求无权处分人以合理价格转让，本案中，庚将厂房卖给辛的行为属于无权处分，辛对房屋的权属登记有误不知情，但厂房的交易价格300万元与市场价值600万元悬殊差距太大，显然不属于合理价格转让，故辛不能以善意取得主张房屋所有权。