一招学会超静定——超静定直接计算法

从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。先来几个名词解释：

1、静定结构──无多余约束的几何不变结构，是实际结构的基础。

特性：只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的几何不变结构。

原因：因为静定结构撤销约束或不适当的更改约束配置可以使其变成可变体系，而增加约束又可以使其成为有多余约束的不变体系(即超静定结构)。

2、超静定结构——有多余约束的几何不变体系

特性：每个多余约束都带来一个多余未知广义力，使广义力的总数超过了所能列出的独立平衡方程的总数，超出的数目称为结构的静不定度或静不定次数。

原因：多余约束在静定结构上附加的约束，这带来静定结构变为超静定结构。

常规分析超静定的方法，是去掉多余联系的方法，比如：

(1)去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。

(2)去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。

(3)去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。

(4)将固定支座改为不动铰支座或将梁式杆中某截面改为铰结，相当于解除一个转动约束。

然而因为考题的复杂多变，分析起来常常会出错。这里提供一个简单的直接计算法，不需要分析直接计算超静定次数。

一、基本原则：

原则1、虚空中任何一个刚性杆件，如果要静定就需要3个约束。如果没有约束就看成-3次静定。如下图。

原则2、只要是刚性连着的，都看成一个杆件。(注意，题中可能出现交叉的连杆不要看成此类刚性连接杆)如下图

原则3、刚性节点看成3个约束，刚性联结的封闭框格也看成3个约束。如下图

原则4、一个铰接点看成2个约束，以下图皆为1个铰接点(注意连接地面时候，是一个铰接点，就是把杆件和地面用铰接搭住)

原则5、N个连杆铰接，算N-1个铰接点，如下图

原则6、组合式铰接可以分解来分别计算，如下图

二、计算法则：

1、分析有几根独立杆件，按照原则2断定。

2、计算独立的杆件有几根，按照原则1，乘以3就是满足静定需要的约束数量。

3、计算独立杆件和地面的刚节点，按原则3计算，乘以3得到约束数量;计算独立杆件和地面以及相互间的铰接点数量，按原则4-6计算约束数量。如果有封闭框格，按照原则3计算。

4、3步骤计算出的约束总数，减去2步骤计算的静定约束数量，差值就是超静定次数。

三、计算示意

1、标准静定结构示意：

按照之前的原则4，5分析如下图

4根杆件，需要4*3=12个约束。铰接点共6个，提供6*2=12个约束。静定次数4*3-6*2=0，此为静定结构。

2、2014年考题解析：图示结构的超静定次数为

分析如下图

杆件总数6个。需要的约束总数是6*3=18

铰接点总数7个，提供7*2-=14个约束;刚性节点2个，提供2*3=6个约束。

多余约束：14+6-18=2。超静定次数为2。

3、2014年考题，图示几何不变体系，其多余约束为几次?

此题注意，不要把中间的交叉连杆看成一个刚性体。分析如下图：

杆件总数17个。需要的约束总数是17*3=51

铰接点总数16个，提供26*2-=52个约束。

多余约束：52-51=1。超静定次数为1。

4、2014考题：图示结构的超静定次数为

分析：此题中，有刚性联结的封闭框格，需要按照原则3处理，即封闭框架有3个约束。按原则2，把连接在一起的刚性体视为一个杆件，分析如图：

杆件总数2个。需要的约束总数是2*3=6

铰接点总数2个，提供2*2-=4个约束;刚节点1个，提供1*3=3个约束;封闭框格1个，提供3个约束。

多余约束：4+3+3-6=4。超静定次数为4。

5、求下图超静定次数

分析：此题有组合在一起的铰接点，需要按照原则6分解计算。

杆件总数13个。需要的约束总数是13*3=39

铰接点总数21个，提供21*2-=42个约束;

多余约束：42-39=3。超静定次数为3。

6、求下图超静定次数

分析：此题要注意刚性杆件的定义，按照原则2来，连在一起的看成一个杆件。这里杆1用红色强调出来。注意这里不是封闭框格。

杆件总数3个。需要的约束总数是3*3=9

铰接点总数3个，提供3*2-=6个约束;刚性节点3个，提供3*3=9个约束

多余约束：6+9-9=6，超静定次数为6。