2019年环保工程师基础知识：垂直轴定理

垂直轴定理

一个平面刚体薄板对于垂直它的平面的轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:iz=ix+iy

刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离 ，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为 i=mk^2，式中m为刚体质量;i为转动惯量。

转动惯量的量纲为l^2m，在si单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：

先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能e=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统(选定一个参考系)运动的实际能量，(p势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小)。

e=(1/2)mv^2 (v^2为v的2次方)

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)

得到e=(1/2)m(wr)^2

由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量k代替, 　　k=mr^2

得到e=(1/2)kw^2 　　k就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。

变换一下公式角度分析转动

1、e=(1/2)kw^2本身代表研究对象的运动能量

2、之所以用e=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。

3、e=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。

4、e=(1/2)kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量k=mr^2本身就是一种积分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果k=∑ mr^2 (这里的k和上楼的j一样)

所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。

若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成k=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdv

其中dv表示dm的体积元，σ表示该处的密度，r表示该体积元到转轴的距离。