[结构工程师]结构力学考点辅导第一节-30

　　六、弹性体系的互等定理

　　下面四个互等定理，适用于线性弹性体系，线性弹性体系的特征是应力应变之间为线性关系，体系的位移是微小的，可以应用叠加原理。

　　(一)虚功互等定理

　　T12=T21 (3—14)

　　即任一线性弹性体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功T12=T21等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功T21。

　　由虚功原理可以导出下面三个互等定理

　　(二)位移互等定理

　　δ12=δ21 (3—15)

　　上式表示同一线性弹性体系由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21 等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12。这里的荷载可以是广义荷载，因而位移可以是相应的广义位移。如图3—11a、b中的δ12=δ21。

　　位移互等定理在力法及其他结构分析的柔度法中得到应用。

　　(三)反力互等定理

　　R12=R21 (3—16)

　　上式表示同一线性弹性体系由单位位移cl=1所引起的与位移c2相应的反力R21等于由单位位移c2=1所引起的与位移cl相应的反力R12。如图3—12a、b中的R12=R21。

　　反力互等定理只适用于超静定结构，它在位移法及其他结构分析的刚度法中得到应用。

　　(四)位移与反力互等定理

　　δ12'=-R21' (3—17)

　　上式表示同一线性弹性体系由单位荷载尸P1=1所引起的与位移c2相应的反力R21'在绝对值上等于由单位位移c2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12'，但两者相差一个符号。如图3—13a、b中的δ12'=-R21' 。

　　位移与反力互等定理在混合法中得到应用。

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