2014年浙江省公务员考试行测技巧:平铺问题
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2014年浙江省公务员考试行测技巧:平铺问题
如果一些图形可以无缝隙的铺满一个平面,相拼接的边相等,每个拼接点处各个角的和为360°,我们称其可以完成平面密铺(是平铺问题一类),如下图:
平铺问题是天津公务员行测数量关系中一类重要的平面几何问题,着重考察是正多边形的平铺问题。并且可以延伸出圆的平铺问题。我们先看一下下面的天津公务员行测数量例题。
【例题】在用多边形对平面进行密铺时,相拼接的边相等,每个拼接点处各个角的和为360°,我们称其可以完成平面密铺。那么一下哪种图形不能单独完成平面密铺?( )
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.正八边形
这道题不算难,我们可以通过生活经验就可以得到答案。正三角形当然可以铺满平面,正方形也可以铺满平面,(类似我们常见的地板砖)。正六边形则类似自然界的蜂窝状分布,也可以铺满一个平面。如果我们要严格的来证明的话,正多边形的内角是,并且内角必须是360的因数,这样才能保证几个角对在一起可以不留缝隙。满足这个条件的n只有3,4,6 。
所以可以铺满平面的正多边形是正三角形,正方形和正六边形。
如果我们考虑一些圆铺满一个平面呢(圆与圆之间可以有交叠)。我们套用正多边形平铺平面的结论,一个正多边形可以对应着一个圆,一个正多边形铺满一个平面对应着一种圆铺满平面的方式
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很容易发现,最后一种情况也就是六边形对应的圆的平铺所用的圆最少。这是一个很有用的结论,因为有时候有的题目会问你用最少的圆覆盖一个形状,这时候圆和圆的交叠方式就起到至关重要的作用,我们知道六边形对应的圆的平铺时候圆与圆交接部分最小,这就意味着所“浪费”的面积最小,这样我们就可以覆盖一个形状时候使用的圆最少。
【例】为了浇灌一个半径为10米的花坛,园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头,但库房里只有浇灌半径为5米的喷头,问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到?( )
A. 4 B. 7
C. 6 D. 9
这道题就是要用最少的圆覆盖一个形状――一个更大圆。通过我们刚才的讲解,我们确定半径为5米的小圆之间的分布方式是以六边形密铺的方式分布的。这道题我们可以转换为用半径5米的小圆的内接正六边形密铺铺满一个半径为10米的圆,如果这些正六边形可以覆盖这个半径10米的圆,那么那些半径5米的圆也可以通过正六边形的扩展来盖满整个平面。
如果想用尽可能少的正六边形覆盖这个大圆,我们可以采取上图一样的覆盖方式,我们把一个正六边形放在大圆圆心的位置,然后在这个中间的正六边形周围围上六个正六边形,正好可以盖满这个大圆,用了七个正六边形,所以用七个小圆也可以覆盖满这个大圆。
平铺问题是平面几何问题中一类很有意思的问题,我们要正确把握正多边形的密铺方式以及对应的圆的平铺方式,这类问题就会迎刃而解。
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