岩土工程师基础考试：微分学(3)

　　微分中值定理

　　在微积分学的理论证明中，中值定理具有根本的重要性，它有许多不同的形式。

　　罗尔定理

　　1690年法国数学家M.罗尔首先发现，在闭区间上连续，区间内可微，在区间端点取等值的函数，其图形上至少存在一点，图形在该点的切线是“水平”的(图3)。与这个结论等价的是拉格朗日定理。

　　拉格朗日定理

　　如果函数ƒ(x)在闭区间【α,b)】上连续，在开区间(α,b)内可微,则在这个区间内至少存在一点ξ，使得 。

　　直观上说，就是在函数图形上至少存在一点，在该点处的切线与图形两端点的连线平行(图4)。不过定理本身并没有给出点ξ的确切位置,而且满足条件的ξ点也可能不只一个。如果设想

　　ƒ(t)表示一质点在时刻t所行的路程，那么就表示质点在时间间隔(α,b)中的平均速度,而ƒ┡(t)表示质点在时刻 t的瞬时速度的数值。定理的意义则在于断定至少存在一个时刻t=ξ,在这个时刻的瞬时速度的数值，恰等于平均速度的数值。

　　形式上作些变化后，得到公式 式中0<θ<1,这个公式被称为拉格朗日有限增量公式。另一种较一般的形式称为柯西中值定理。

　　柯西中值定理

　　若函数ƒ(x)与g(x)在闭区间【α,b】上连续，在开区间(α,b)内可微,则在这个区间内至少存在一点ξ，使得 当g(x)=x时，上面定理与拉格朗日定理有同一形式，所以柯西中值定理是拉格朗日定理的最一般的形式。

　　洛必达法则 法国数学家 G.-F.-A de洛必达于1696年在他的名著《无穷小分析》中，给出了一种确定未定式值的方法：如果函数ƒ(x)与g(x)在区间(α,b)内可微，g┡(x)≠0，又如果极限过程x→α+0也可以换成别的极限过程(x→b)-0,x→с,x→∞)。由于所考虑的比ƒ(x)/g(x)在极限过程中形式上趋于或,不能一般地定值,所以称为未定式。通过洛必达法则可以由ƒ┡(x)/g┡(x)的极限来确定ƒ(x)/g(x)的极限。应当注意的是，如果ƒ┡(x)/g┡(x)的极限不存在,并不能肯定ƒ(x)/g(x)的极限也不存在。此外还有0?∞，∞-∞，00，1∞及∞0几种类型的未定式,但它们都可以先经过适当代数变换化归型或型,然后用洛必达法则定值。 泰勒公式 多项式是最简单的一类初等函数。由于它本身的运算仅是有限次加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。对于一个任意给定的函数ƒ(x),总希望能找到一个n次多项式p(x),它至少在局部上与ƒ(x)相当接近，因而在数值计算上能代替ƒ(x)。 如果函数ƒ(x)在某点x=x0附近本来就是一个多项式 逐次微分便给出 当n 式中 称为函数ƒ(x)在点x=x0处的n次泰勒多项式。对一般函数ƒ(x),前面的估计式也可以成立，只要ƒ(x)在点x=x0处n次可微。因为这时只要写出恒等式并重复使用洛必达法则便可以得到 故仍然有 这里余项的估计式 称为余项的皮亚诺形式。此外常用的还有余项的拉格朗日形式 式中ξ 位于x0与x之间的某一点。也有余项的柯西形式 。

　　当然这里都假定ƒ(n+1)(x)在x到x0之间处处存在。如果ƒ(n+1)(x)在x与x0之间处处连续，则有余项的积分形式 通常，称原点x0=0处的泰勒公式为马克劳林公式，即 或 式中ξ介于0到x之间。

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