岩土工程师基础考试：微分学(2)

　　导数作为变化量之比的极限，不仅是变量变化的一种数量表现，而且还能通过函数关系进行运算。

　　线性主要部分 导数的存在表明切线的存在。假如函数y=ƒ(x)在点x处有导数ƒ┡(x)存在，则函数曲线在相应点p(x,y)处有斜率为ƒ┡(x)的惟一确定的切线存在。它在切点p附近与曲线密合,并且在相当靠近切点的地方，密合得难以区分(图2)。这在分析上意味着在点x的小邻域内，函数值y=ƒ(x)是可以用切线上相应点的纵坐标值来近似的。而且在 x充分小的邻域内，近似误差R与Δx=x1-x相比是微不足道的。事实上 由于ƒ┡(x)存在，就有 这样，函数的改变量Δy就被分解成了两部分之和，其中第一项线性地依赖于Δx,而它与Δy相差是关于Δx的高阶无穷小量。换言之,当Δx很小时,舍弃这个微不足道的误差，剩下的部分ƒ┡(x)Δx就可以作为Δy的近似值了。这一项被称为Δy的线性主要部分。

　　微分的概念

　　自变量x的变化量Δx与x是无关的,称为自变量的微分,记为dx;而因变量相应的变化量Δy的线性主要部分 则称为函数y=ƒ(x)在点x处相应于自变量的变化量Δx的微分。

　　抽象看来，微分有两个特性，其一是dy是dx的齐次线性函数,其二是dy与Δy之差是关于Δx的高阶无穷小量。这两个特性完全决定了微分本身：如果有一个Δx的齐次线性函数为AΔx，

　　同时具有第二种特性，则可以断定A=ƒ┡(x),亦即线性函数AΔx就必定是函数的微分。所以对一元函数说来，导数的存在性与微分的存在性是等价的。

　　微分的概念从萌发到完整，其严格化经历了几个世纪。即使在微积分蓬勃发展的牛顿-莱布尼茨-欧拉时代，数学家们尽管能用微分进行近似计算，布列并求解微分方程，但由于无穷小量的概念尚未精确化，微分的概念并不明晰;直至19世纪，数学的严格性发展到了新的高度，微分的概念才被确切地理解。

　　一阶微分形式不变性 对复合函数 如果ƒ(u)和φ(x)都是可微函数，则在x为自变量时这说明，dy的表达式不论对自变量x还是对中间变量u其形式是不变的。也就是说可以不必区分变量u是自变量或因变量，函数y=ƒ(u)的微分永远具有一个共同的形式： 这就是一阶微分形式不变性，这使得有时利用微分进行计算比运用导数要简单。

　　由于一阶微分是自变量改变量的线性函数，在求函数的变化量时用微分作近似计算很简便。例如 在x=2与Δx=0.01时, ，

　　而这里dy与Δy相同至三位小数,而计算dy要比计算Δy容易得多。

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