2021年审计专硕考研管综初数专项突破之均值不等式

2021年审计专硕考研管综初数专项突破之均值不等式

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式定义

Hn≤Gn≤An≤Qn被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。

均值不等式的证明

引理：设A≥0，B≥0，则(A+4102B)n≥An+nAn-1B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)n≥a1a2…an。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak )/k)k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设ak+1是a1，a2 ，…，ak+1中最大者，则

k ak+1≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，

((a1+a2+…+ak+1)/(k+1))k+1

=(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1

≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理

=(s/k)k ak+1

≥a1a2…ak+1用归纳假设

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